Question

如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F为CD中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：EF⊥平面BCD．

Answer 1

分析：（1）取BC中点O，连接OF，可证四边形EAOF是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（2）连接BF，由EF²+BF²=BE²得到BF⊥EF，又EF⊥CD，则线面垂直的判断定理证明．

解答：解：：（1）证明：取BC中点O，连接OF
∵F是CD中点，O为CB中点，∴OF∥DB且OF=

1

2

DB，
又BD∥AE且AE=

1

2

BD
∴OF∥AE，OF=AE
∴四边形EAOF是平行四边形
∴OA∥FE
又∵OA?平面ABC，EF?平面ABC
∴EF∥平面ABC．
（2）连接BF，∵AE=1，则AB=BC=AC=BD=2，
于是 CE=ED=

5

，CD=2

2

，
所以 EF=

3

，BF=

2

，BE=

5

所以BF⊥EF，又EF⊥CD，又BF，CD为两条相交直线
故EF⊥平面BCD

点评：考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．是中档题．