Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和S_n=

1

2

（a_n-1）（a_n+2），n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（-1）ⁿa_na_n+1，求数列{b_n}的前2n项的和T_2n．

Answer 1

分析：（1）n=1，先求出a₁，利用条件再写一式，两式相减，可得a_n-a_n-1=1，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}的前2n项的和T_2n=-a₁a₂+a₂a₃-…+a_2na_2n+1=2（a₂+a₄+…+a_2n），又a₂，a₄，…，a_2n是首项为3，公差为2的等差数列，从而可得结论．

解答：解：（1）当n=1时，S₁=

1

2

（a₁-1）（a₁+2），所以a₁=-1或a₁=2，
因为数列{a_n}的各项均为正数，所以a₁=2                        …（2分）
当n≥2时，S_n=

1

2

（a_n-1）（a_n+2），S_n-1=

1

2

（a_n-1-1）（a_n-1+2），
两式相减得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，…（6分）
又因为数列{a_n}的各项均为正数，所以a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=1，
所以a_n=n+1；                                  …（8分）
（2）因为b_n=（-1）ⁿa_na_n+1，
所以数列{b_n}的前2n项的和T_2n=-a₁a₂+a₂a₃-…+a_2na_2n+1=2（a₂+a₄+…+a_2n），…（11分）
又a₂，a₄，…，a_2n是首项为3，公差为2的等差数列，
所以a₂+a₄+…+a_2n=

n(3+2n+1)

2

=n²+2n，
故T_2n=2n²+4n．                              …（14分）

点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查数列递推式，确定数列的通项是关键．