Question

设函数f(x)=lg[ax2+x+(b2-b+

1

2

)](a≠0)，若对任意实数b，函数f（x）的定义域为R，则a的取值范围为

（1，+∞）

．

Answer 1

分析：由函数f（x）有意义，得真数大于＞0，对任意实数b，一元二次不等式ax²+x+（b²-b+

1

2

）＞0恒成立，则

a＞0 △＜0

，解得a的取值范围．

解答：解：函数f(x)=lg[ax2+x+(b2-b+

1

2

)](a≠0)有意义，则ax²+x+（b²-b+

1

2

）＞0，
当a≠0时，对任意实数b，一元二次不等式ax²+x+（b²-b+

1

2

）＞0恒成立，
∴

a＞0 △＜0

，即a＞0时，1-4a（b²-b+

1

2

）＜0，整理得4a（b²-b+

1

2

）＞1
∵b²-b+

1

2

=(b-

1

2

)2+

1

4

≥

1

4

，
∴a＞

1

4(b2-b+ 1 2 )

≥

1

4× 1 4

=1，
∴函数f（x）的定义域为R时，a的取值范围是（1，+∞）
故答案为：（1，+∞）

点评：本题考查了对数函数定义域问题，也是一元二次不等式恒成立问题，是容易出错的题目．