Question

已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．
（Ⅰ）设，试求函数的表达式；
（Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）函数的表达式为．
（Ⅱ）存在，使得点、与三点共线，且 ．
（Ⅲ）的最大值为．

试题分析：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、，
 ，
∴切线的方程为：，
又切线过点，
有，即， （1）
同理，由切线也过点，得．（2）
由（1）、（2），可得是方程的两根，
 （ * ）

，
把（ * ）式代入,得,
因此，函数的表达式为．
（Ⅱ）当点、与共线时，，
＝，即＝，
化简，得，
，．   （3）
把（*）式代入（3），解得．
存在，使得点、与三点共线，且 ．
（Ⅲ）解法：易知在区间上为增函数，
，
则．
依题意，不等式对一切的正整数恒成立，
，
即对一切的正整数恒成立．
，
，
．
由于为正整数，．
又当时，存在，，对所有的满足条件．
因此，的最大值为．
解法：依题意，当区间的长度最小时，
得到的最大值，即是所求值．
，长度最小的区间为
当时，与解法相同分析，得，
解得．           后面解题步骤与解法相同（略）．
点评：难题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值。不等式恒成立问题，常常转化成求函数的最值问题。（III）小题，通过构造函数，研究函数的单调性、极值（最值），进一步确定得到参数的范围。