题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（-2，0）、B（2，0），M是动点，且直线MA与直线MB的斜率之积为- $数学公式$ ，设动点M的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）过定点T（-1，0）的动直线l与曲线C交于P，Q两点，若S（- $数学公式$ ，0），证明： $数学公式$ • $数学公式$ 为定值．

（Ⅰ）解：设M点坐标为（x，y）（x≠±2）
∵定点A（-2，0）、B（2，0），直线MA与直线MB的斜率之积为- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （x≠±2）
（Ⅱ）证明：当动直线l的斜率不存在时，P（-1， $\text{[math]}$ ），Q（-1，- $\text{[math]}$ ），若S（- $\text{[math]}$ ，0）， $\text{[math]}$ ．
当动直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0），联立方程组，消去y得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=- $\text{[math]}$ ，x1+x2= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =（x₁+ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（x₂+ $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ =（x₁+ $\text{[math]}$ ）•（x₂+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）根据定点A（-2，0）、B（2，0），直线MA与直线MB的斜率之积为- $\text{[math]}$ ，建立方程，化简可得结论；
（Ⅱ）当动直线l的斜率不存在时，P（-1， $\text{[math]}$ ），Q（-1，- $\text{[math]}$ ），可得 $\text{[math]}$ ；当动直线l的斜率存在时，设动直线l的方程联立方程组，消去y得一元二次方程，利用韦达定理及向量的数量积运算，可得结论．
点评：本题考查轨迹方程的求解，考查存在性问题的探究，解题的关键是用坐标表示出 $\text{[math]}$ ，进而确定定值．