Question

已知函数f(x)=sin

x

2

•cos

x

2

+

3

sin2

x

2

+

3

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）图象的对称轴方程；
（Ⅱ）若x∈[0，π]，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求函数f（x）的最小正周期，必须把函数f(x)=sin

x

2

•cos

x

2

+

3

sin2

x

2

+

3

2

化简为一般形式，再由周期公式，对称轴的表达式直接求解即得到．
（Ⅱ）求函数的值域，可由上一题解得的对称轴，及区间根据简单图象求出函数的最大值最小值，即可得到值域．

解答：解：（Ⅰ）因为f(x)=

1

2

sinx+

3

2

(1-cosx)+

3

2

=(

1

2

sinx-

3

2

cosx)+

3

=sin(x-

π

3

)+

3

，
所以，函数f（x）的最小正周期为2π．
由x-

π

3

=kπ+

π

2

，
得x=kπ+

5π

6

，k∈Z．
故函数f（x）图象的对称轴方程为x=kπ+

5π

6

，k∈Z．
（Ⅱ）因为x∈[0，π]，所以x-

π

3

∈[-

π

3

， 

2π

3

]．
所以-

3

2

≤sin(x-

π

3

)≤1．
所以函数f（x）的值域为[

3

2

，1+

3

]．

点评：此题主要考查函数的化简及周期性，对称轴，值域的求法问题．在做此类题目的时候要注意三角函数性质的记忆及其应用，有一定的计算量属于中档题．