Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且7a_n+S_n=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n+1•（2n+1），是否存在常数m∈N^*，使b_n≤b_m恒成立，若不存在说明理由，若存在求m的值．

Answer 1

分析：（1）利用条件，再写一式，两式相减，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用作差法，确定函数的单调性，即可求得结论．

解答：解：（1）∵7a_n+S_n=8①
∴7a_n-1+S_n-1=8②
①-②得7a_n-7a_n-1+a_n=0，即

an

an-1

=

7

8

（n≥2）…（2分）
令n=1，得a₁=1                                    …（3分）
∴an=(

7

8

)n-1                                                …（4分）
（2）记bn=(

7

8

)n•(2n+1)
∴bn+1-bn=(

7

8

)n•

-2n+13

8

                      …（8分）
显然n≤6时，b_n+1＞b_n，n＞6时，b_n+1＜b_n，
故（b_n）_max=b₇，即m=7．                                       …（10分）

点评：本题考查数列的通项，考查数列的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．