题目内容
已知数列{an}满足a1=2，且anan+1+an+1-2an=0（n∈N+）．（1）求a2、a3、a4的值；
（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
分析：（1）由题意可得 an+1=
，又a1=2，可求得a2，再由a2的值求 a3，再由a3 的值求出a4的值．
（2）猜想an=
，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
| 2an |
| an+1 |
（2）猜想an=
| 2n |
| 2n-1 |
解答：解：（1）由题得an+1=
，又a1=2，则a2=
=
，a3=
=
，
a4=
=
…
（2）猜想an=
．
证明：①当n=1时，
=2=a1，故命题成立．
②假设当n=k时命题成立，即ak=
则当n=k+1时，ak+1=
=
=
=
，
故命题也成立．
综上，对一切n∈N+都有an=
成立．
| 2an |
| an+1 |
| 2a1 |
| a1+1 |
| 4 |
| 3 |
| 2a2 |
| a2+1 |
| 8 |
| 7 |
a4=
| 2a3 |
| a3+1 |
| 16 |
| 15 |
（2）猜想an=
| 2n |
| 2n-1 |
证明：①当n=1时，
| 21 |
| 21-1 |
②假设当n=k时命题成立，即ak=
| 2k |
| 2k-1 |
则当n=k+1时，ak+1=
| 2ak |
| ak+1 |
2•
| ||
|
| 2k+1 |
| 2k+2k-1 |
| 2k+1 |
| 2k+1-1 |
故命题也成立．
综上，对一切n∈N+都有an=
| 2n |
| 2n-1 |
点评：本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．
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