Question

在△ABC中，sinA+cosA=

2

2

，AC=2，AB=

2

，
（1）求tanA的值
（2）求BC的长度和△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由同角三角函数间的基本关系得到sin²A+cos²A=1，与已知的等式联立即可求出sinA和cosA的值，然后再由已知的等式两边平方，利用二倍角的正弦函数公式化简后求出sin2A的值，根据其值小于0得到2A的范围即可求出A的范围，发现A为钝角，即sinA大于0，cosA小于0，得到满足题意的sinA和cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出tanA的值；
（2）由AC，AB及求出的cosA的值，利用余弦定理即可求出BC的长，然后由AC，AB及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）联立得：

sinA+cosA= 2 2 sin2A+cos2A=1

，
解得：

sinA= 2 + 6 4 cosA= 2 - 6 4

或

sinA= 2 - 6 4 cosA= 2 + 6 4

，
由sinA+cosA=

2

2

，
两边平方得：1+sin2A=

1

2

，即sin2A=-

1

2

，
∴180°＜2A＜360°，即90°＜A＜180°，
∴sinA＞0，cosA＜0，
∴

sinA= 2 + 6 4 cosA= 2 - 6 4

，
∴tanA=

sinA

cosA

=

2 + 6

4

×

4

2 - 6

=-2-

3

；
（2）由AC=2，AB=

2

，
根据余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2AC•BC•cosA=2²+2-4×

2

×

2 - 6

4

=4+2

3

=（1+

3

）²，
∴BC=1+

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AC•AB•sinA=

1

2

×2×

2

×

2 + 6

4

=

1+ 3

2

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，余弦定理及三角形的面积公式．熟练掌握公式及定理是解本题的关键，同时在求出sinA和cosA后，要根据A的范围判定得到满足题意的解．