Question

已知函数f(x)=lnx+

1-x

ax

，其中a为大于零的常数．
（1）当a=1时，求函数f（x）单调区间．
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）将a=1代入，求出函数的导函数，并分析导函数的符号，进而判断出函数f（x）单调区间．
（2）根据函数的解析式，求出函数的导函数，分a≥1，0＜a＜

1

2

，

1

2

＜a＜1三种情况，分别讨论f′（x）的符号，分析出函数f（x）的单调性，进而可求出函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

解答：解：∵函数f(x)=lnx+

1-x

ax

，
∴f′（x）=

ax-1

ax2

（x＞0）…（2分）
（1）当a=1时，f′（x）=

x-1

x2

，
当x＞1时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0；　　　…（4分）
∴f（x）的单调增区间为[1，+∞），单调减区间为（0，1）．　　　…（6分）
（2）当a≥1时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在[1，2]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…（8分）
当0＜a＜

1

2

时，f′（x）≤0恒成立，f（x）在[1，2]上单调递减，
∴f（x）_min=f（2）=ln2-

1

2a

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …（10分）
当

1

2

＜a＜1时，由f′（x）＞0得

1

a

＜x≤2，由f′（x）＜0得1≤x＜

1

a

．
∴f（x）在[1，

1

a

]上单调递减，在[

1

a

，2]上单调递增．
∴f（x）_min=f（

1

a

）=ln

1

a

+1-

1

a

．                                             …（14分）

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数在闭区间上函数的最值，熟练掌握导数法在确定函数的单调性和函数的最值时的方法和步骤是解答的关键．