Question

已知偶函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，试问f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数？请证明你的结论．

Answer 1

解：f（x）在（-∞，0）上是减函数．理由如下：
设x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0
因 f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以 f（-x₁）＞f（-x₂），
又 f（x）是偶函数，所以f（x₁）＞f（x₂）
因此，f（x）在（-∞，0）上是减函数．       
分析：根据偶函数在对称区间上单调性相反，可得到结论，进而根据函数单调性的证明方法，任取x₁＜x₂＜0，根据偶函数的性质及f（x）在（0，+∞）上是增函数，判断出f（x₁）与f（x₂）的大小，进而根据函数单调性的定义可得结论．
点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合，其中熟练掌握函数单调性及奇偶性是定义是解答本题的关键．