Question

已知tanα是方程x²+2xsecα+1=0的两个根中较小的根，求α的值．

Answer 1

分析：由方程的两根之积为1和较小根为tanα得到方程较大的根为

1

tanα

即cotα，然后根据两根之和等于-2secα列出等式，利用同角三角函数间的基本关系化简得到sinα的值，根据正弦函数的周期和特殊角的三角函数值求出α的值，代入到两根之中检验得到符合题意的值．

解答：解：∵tanα是方程x²+2xsecα+1=0的较小根，
∴方程的较大根是cotα．
∵tanα+cotα=-2secα，即

1

sinαcosα

=-

2

cosα

∴sinα=-

1

2

．
解得α=2kπ+

7π

6

，或α=2kπ-

π

6

，?k∈Z．
当α=2kπ+

7π

6

(k∈Z)时，tanα=

3

3

，cotα=

3

；
当α=2kπ-

π

6

(k∈Z)时，tanα=-

3

3

，cotα=-

3

，不合题意．
∴α=2kπ+

7π

6

，?k∈Z．

点评：本题要求学生利用韦达定理解决数学问题，同时要求学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，学生容易忽视对α值的检验．