Question

本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分
过直角坐标平面xOy中的抛物线y²?2px （p＞0）的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A、B两点．
（1）用p表示A、B之间的距离并写出以AB为直径的圆C方程；
（2）若圆C于y轴交于M、N两点，写出M、N的坐标，证明∠MFN的大小是与p无关的定值，并求出这个值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据所给的抛物线的方程写出抛物线的焦点坐标，又有所给的直线的倾斜角得到这条直线的斜率，由点斜式写出直线的方程，要求两点之间的距离，首先要把直线与抛物线方程联立，整理出关于x的方程，根据根和系数之间的关系，和抛物线的定义，写出结果．
（2）由（1）得：圆C方程：（x-）²+（y-p）²=4p²，令x=0得到圆与y轴的交点坐标，利用到角公式求出∠MFN的正切值tan∠MFN，它是一与p无关的定值，并求出这个值即可．
解答：解：（1）焦点F（，0），过抛物线的焦点且倾斜角为 的直线方程是
由 ⇒|AB|=x_A+x_B+p=4p，
AB的中点坐标为C（，p），以AB为直径的圆C的半径为：2p，
∴以AB为直径的圆C方程：（x-）²+（y-p）²=4p²，
（2）由（1）得：圆C方程：（x-）²+（y-p）²=4p²，
令x=0得：（0-）²+（y-p）²=4p²，⇒y_M=，y_N=，
∴tan∠MFN===-（定值）．
∴∠MFN=π-arctan．
点评：本题考查直线与圆锥曲线之间的关系，实际上这种问题在解题时考虑的解题方法类似，都需要通过方程联立来解决问题，注意本题中抛物线还有本身的特点，注意使用，属中档题．