Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c=2，C=

π

3

．
（I）设向量

m

=(a，b)，

n

=(b-2，a-2)，若

m

⊥

n

，求△ABC的面积；
（Ⅱ）若

sinA

cosB

＞

3

，求角B的取值范围．

Answer 1

（I）由题意可知

m

•

n

=0，
∴a（b-2）+b（a-2）=0，
∴a+b=ab．（3分）
由余弦定理可知，4=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
即（ab）²-3ab-4=0，
∴ab=4（舍去ab=-1），
则S=

1

2

absinC=

1

2

×4×sin

π

3

=

3

；（7分）
（Ⅱ）∵A+B=

2π

3

，
∴

sinA

cosB

=

sin( 2π 3 -B)

cosB

=

sin 2π 3 cosB-cos 2π 3 sinB

cosB

=

3

2

+

1

2

tanB＞

3

即tanB＞

3

，
∵0＜B＜

2π

3

，
∴

π

3

＜B＜

π

2

．（14分）