Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=120°，若各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于

20π

．

Answer 1

分析：通过已知条件求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．

解答：解：如图底面三角形ABC的外心是O′，O′A=O′B=O′C=r，
在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，
可得BC=

AB2+AC2-2AB•ACcos∠BAC

=

22+22-2×2×2cos120°

=2

3

，
由正弦定理，2r=

BC

sin∠BAC

，可得△ABC外接圆半径r=

2 3

2sin120°

=2，
设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，
易得球半径R=

5

，
故此球的表面积为4πR²=20π
故答案为：20π

点评：本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．