Question

在等差数列{a_n}中，a₁=3，前n项和为S_n，等比数列{b_n}各项均为正数，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=

S2

b2

（1）求数列{a_n}通项a_n；
（2）记 Tn=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

，试比较T_n与

5

9

的大小．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的通项公式，结合题意建立关于q和a₂的方程组，解之可得a₂=6，进而得到{a_n}的公差d=a₂-a₁=3，用等差数列通项公式可求得数列{a_n}的通项；
（2）根据（1）中求出的{a_n}的通项，结合等差数列求和公式得出Sn=

n(3+3n)

2

，从而化简出

1

Sn

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)，用裂项法求出T_n=

n-5

9(n+1)

，最后根据n与5的大小关系进行讨论，即可得到T_n与

5

9

的大小的几种情况．

解答：解：（1）等比数列{b_n}的公比为q，结合题意可得

q+3+a2=12 q= 3+a2 q

，解之得，q=3或q=-4（负值舍去），a₂=6
∴{a_n}的公差d=a₂-a₁=3，可得a_n=3+（n-1）×3=3n．
（2）由（1），得到{a_n}的前n项和为Sn=

n(3+3n)

2

，
∴

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)
由此可得：Tn=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

2

3

(1-

1

n+1

)=

2n

3(n+1)

．
∴Tn-

5

9

=

2n

3(n+1)

-

5

9

=

n-5

9(n+1)

令

n-5

9(n+1)

＜0，得n＜5，故 n=1，2，3，4；令

n-5

9(n+1)

=0，得n=5；令

n-5

9(n+1)

＞0，得n＞5
∴当n=1，2，3，4时，Tn＜

5

9

；当n=5时，Tn=

5

9

；当 n＞5（n∈N₊）时，Tn＞

5

9

．

点评：本题给出等差、等比数列模型，求通项公式并比较{a_n}的前n项和的倒数和与

5

9

的大小．着重考查了等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，以及用不等式比较大小等知识，属于中档题．