题目内容
（2012•南宁模拟）已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，AC=BD=1，CD=2，异面直线AB与CD所成的角等于
arccos
| ||
| 3 |
arccos
（用反余弦表示）
| ||
| 3 |
分析：先根据条件求出求出|
|的长度，再结合向量的数量积即可求出结论．
| AB |
解答：
解：∵直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，AC=BD=1，CD=2，
∴AC⊥CD，AC⊥BD，CD⊥BD．
|
|2=（
+
+
）2=
2+
2+
2+2
•
+2
•
+2
•
=12+12+22+0+0+0=6⇒|
|=
．
•
=
•（
+
+
）
=
•
+
•
+
•
=
•
；
∴
2=|
|•|
|cos＜
，
＞
⇒cos＜
，
＞=
=
=
．
∴＜
，
＞=arccos
；
即异面直线AB与CD所成的角等于：arccos
．
故答案为：arccos
．
解：∵直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，AC=BD=1，CD=2，∴AC⊥CD，AC⊥BD，CD⊥BD．
|
| AB |
| AC |
| CD |
| DB |
| AC |
| CD |
| DB |
| AC |
| CD |
| AC |
| DB |
| CD |
| DB |
=12+12+22+0+0+0=6⇒|
| AB |
| 6 |
| CD |
| CD |
| CD |
| CA |
| AB |
| BD |
=
| CD |
| CA |
| CD |
| AB |
| CD |
| BD |
=
| CD |
| AB |
∴
| CD |
| CD |
| AB |
| CD |
| AB |
⇒cos＜
| CD |
| AB |
|
| ||
|
|
| 2 | ||
|
| ||
| 3 |
∴＜
| CD |
| AB |
| ||
| 3 |
即异面直线AB与CD所成的角等于：arccos
| ||
| 3 |
故答案为：arccos
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查异面直线所成的角的问题，解决本题主要用到了向量的数量积．
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