Question

已知函数f（x）=|x-1|．
（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；
（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（

b

a

）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x-1|+|x+3|=

-2x-2， x＜-3 4， -3≤x≤1  2x+2， x＞1

，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．
（Ⅱ）要证的不等式即|ab-1|＞|a-b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab-1|²-|a-b|² ＞0，从而得到所证不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x-1|+|x+3|=

-2x-2， x＜-3 4， -3≤x≤1  2x+2， x＞1

，
当x＜-3时，由-2x-2≥8，解得x≤-5；
当-3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；
当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．
所以，不等式f（x）≤4的解集为{x|x≤-5，或x≥3}．
（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（

b

a

），即|ab-1|＞|a-b|．
因为|a|＜1，|b|＜1，
所以|ab-1|²-|a-b|²=（a²b²-2ab+1）-（a²-2ab+b²）=（a²-1）（b²-1）＞0，
所以|ab-1|＞|a-b|，故所证不等式成立．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．