Question

已知m、n、s、t为正数，m+n=2，=9其中m、n是常数，且s+t最小值是，满足条件的点（m，n）是椭圆=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）
A．x-2y+1=0
B．2x-y-1=0
C．2x+y-3=0
D．x+2y-3=0

Answer 1

【答案】分析：由题设知（）（s+t）=n+m+≥=，满足时取最小值，由此得到m=n=1．设以（1，1）为中点的弦交椭圆=1于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中点从坐标公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入x²+2y²=4，得，①-②，得2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，k=，由此能求出此弦所在的直线方程．
解答：解：∵sm、n、s、t为正数，m+n=2，=9，
s+t最小值是，
∴（）（s+t）的最小值为4
∴（）（s+t）=n+m+≥=，
满足时取最小值，
此时最小值为=2+2=4，
得：mn=1，又：m+n=2，所以，m=n=1．
设以（1，1）为中点的弦交椭圆=1于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中点从坐标公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分别代入x²+2y²=4，得
，
①-②，得2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴k=，
∴此弦所在的直线方程为，
即x+2y-3=0．
故选D．
点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意均值不等式和点差法的合理运用．