Question

【题目】已知函数．

（1）若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使得函数的图象与轴相切？若存在，求满足条件的的取值范围，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），理由详见解析．

【解析】

（1）根据导数和函数的单调性的关系，分离参数，即可求出的取值范围；

（2）函数的图象与轴相切，且存在的极值等于0，根据导数和函数的极值的关系即可求出答案．

（1）在上单调递增，

∴，在上恒成立，

即，

易知在上为增函数，

∴，

∴；

（2）函数，

设，

∴

，

令，解得或，

①当时，即时，当时，，

当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，解得（舍去），

②当时，，即极值点为或，

∵函数的图象与轴相切，

∴或，

当时，，解得，

当时，可得，

设，则，

则，

即，

设，

∴，

再令

∴，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

∴，

∴，

∴在上单调递增，

∵，

∴存在，使得，

即，即，

综上所述存在实数一个实数，得使得函数的图象与轴相切．