Question

17．由$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$，$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$，$\sqrt{5+\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$，…，$\sqrt{10+\frac{a}{b}}=10\sqrt{\frac{a}{b}}$，推测a+b=109．

Answer 1

分析 本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知中的等式，分析根号中分式分子和分母的变化规律，得到a，b值．

解答 解：由已知中，
$\sqrt{2+\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$，
$\sqrt{3+\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$，
$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$，
$\sqrt{5+\frac{5}{24}}=5\sqrt{\frac{5}{24}}$，
…，
归纳可得：第n个等式为：$\sqrt{（n+1）+\frac{n+1}{（n+1）^{2}-1}}=（n+1）\sqrt{\frac{n+1}{（n+1）^{2}-1}}$，
当n+1=10时，a=10，b=99，
故a+b=109，
故答案为：109

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．