Question

已知函数f(x)=x2+

2

x

+alnx(x＞0)，
（1）令a=1，求函数f（x）在x=2处的切线方程；
（2）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲求在点x=2处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在[1，+∞）上是增函数可得到其导函数在[1，+∞）上大于等于0应该恒成立，再结合函数的性质可求得a的范围．

解答：解：（1）与由f(x)=x2+

2

x

+alnx，得f′(x)=2x-

2

x2

+

a

x

切线的斜率k=f'（2）=4切点坐标（2，5+ln2）
所求切线方程y-（5+ln2）=4（x-2）（5分）
（2）若函数为[1，+∞）上单调增函数，
则f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即不等式2x-

2

x2

+

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立
令φ(x)=

2

x

-2x2，上述问题等价于a≥φ（x）_max
而φ(x)=

2

x

-2x2为在[1，+∞）上的减函数，
则φ（x）_max=φ（1）=0，于是a≥0为所求（12分）

点评：本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．