Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），α，β为方程f（x）=x的两根，且0＜α＜β＜

1

a

，0＜x＜α．给出下列不等式：
①x＜f（x）；
②α＜f（x）； 
③x＞f（x）； 
④α＞f（x）．
其中成立的是（　　）

A．①与②

B．①与④

C．②与③

D．③与④

Answer 1

分析：先由已知α，β为方程f（x）=x的两根转化为α，β为方程F（x）=ax²+（b-1）x+c=0的两根，画出对应图象即可找出结论．

解答：解：α，β为方程f（x）=x的两根，
即α，β为方程F（x）=ax²+（b-1）x+c=0的两根，
∵a＞0且0＜α＜β，对应图象如下
故当0＜x＜α时，F（x）＞0，
即f（x）＞x，故①正确，③错误；
另解：设F（x）=f（x）-x，由已知α、β是F（x）=0的两根，
∴F（x）=a（x-α）（x-β）．在x∈（0，α）时，f（x）-x=F（x）=a（x-α）（α-β）．
∵a＞0，x-α＜0，x-β＜0，
∴F（x）＞0．∴f（x）＞x．
又a-f（x）=α-[F（x）+x]=α-x-F（x）=α-x-a（x-α）（x-β）=（α-x）[1+a（α-β）]．
∵0＜x＜α＜β＜

1

a

，
∴aβ＜1．
∴1+a（x-β）=1+ax-aβ＞1-aβ＞0．
 而α-x＞0，
∴α-f（x）＞0．
∴f（x）＜α．∴②错误，④正确．
故选：B．

点评：本题主要考查二次函数的性质．二次函数的图象与X轴的交点的横坐标就是对应方程的根，也是函数的零点．