Question

已知两定点F₁（-，0），F₂（，0），满足条件=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点.如果|AB|=，且曲线E上存在点C，使，求m的值和△ABC的面积S.

Answer 1

解：由双曲线的定义可知，曲线E是以F₁（-，0），F₂（，0）为焦点的双曲线的左支，

且c=，a=1，易知b=1，

故曲线E的方程为x²-y²=1（x＜0）.

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意建立方程组消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0.

又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有，

解得＜k＜1.

又 |AB|=·|x₁-x₂|=·

依题意得2=，整理后得28k⁴-55k²+25=0,

∴k²=或k²=，但＜k＜-1,

∴k=.

故直线AB的方程为x+y+1=0.

设C（x₀，y₀），由已知，得（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx₀，my₀）,

∴（x₀，y₀）=，（m≠0）

又x₁+x₂==，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2=-2==8，

∴点C（，）.

将点C的坐标代入曲线E的方程，得=1得m=±4，

但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，∴m=4，点C的坐标为(，2).

C到AB的距离为.

∴△ABC的面积S=×63×=.