Question

在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c；
（1）设向量

x

=(sinB，sinC)，向量

y

=(cosB，cosC)，向量

z

=(cosB，-cosC)，若

z

∥(

x

+

y

)，求tanB+tanC的值；
（2）若sinAcosC+3cosAsinC=0，证明：a²-c²=2b²．

Answer 1

分析：（1）根据两个向量的坐标写出两个向量的和的坐标，根据向量平行的条件写出关于三角形内角的三角函数的关系式，在关系是两边同除以两个角的余弦值的积，把弦化切，得到结果．
（2）本题所给的条件是既有边又有角，首先要统一为一种变量之间的关系，角化边，利用正弦定理和余弦定理转化，得到边之间的有一个关系完成证明．

解答：解：（1）∵向量

x

=(sinB，sinC)，向量

y

=(cosB，cosC)，
∴

x

+

y

=(sinB+cosB，sinC+cosC)． 
由

z

∥(

x

+

y

)，得 cosC（sinB+cosB）+cosB（sinC+cosC）=0，
即 sinBcosC+cosBsinC=-2cosBcosC．
所以，tanB+tanC=

sinB

cosB

+

sinC

cosC

=

sinBcosC+cosBsinC

cosBcosC

=-2．
（2）若sinAcosC+3cosAsinC=0，则 sinAcosC=-3cosAsinC，
把角之间的关系变化为边之间的关系，
则由正弦定理及余弦定理有：a•

a2+b2-c2

2ab

=-3

b2+c2-a2

2bc

•c，
化简并整理得：a²-c²=2b² ．

点评：本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量平行的充要条件为条件，得到三角函数的关系式，是一道综合题，在高考时常出现，是一个近几年常考的问题．