Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．
（1）证明：PB∥平面EAC；
（2）求证：AE⊥平面PCD；
（3）若AD=AB，试求二面角A-PC-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）证明：连接BD交AC于O，连接EO，则O为BD的中点，利用E为侧棱PD的中点，可得线线平行，从而可得线面平行；
（2）先证明CD⊥侧面PAD，从而可得面PDC⊥侧面PAD，进而可证AE⊥平面PCD；
（3）在PC上取点M使得PM=

1

4

PC，连接AM，证明∠AME为二面角A-PC-D的平面角，在Rt△AEM中，即可求二面角A-PC-D的正切值．

解答：（1）证明：连接BD交AC于O，连接EO，则O为BD的中点
∵E为侧棱PD的中点
∴EO∥

1

2

PB，且EO=

1

2

PB，
又PB?平面EAC，EO?平面EAC，∴PB∥平面EAC．    …（4分）

（2）证明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴CD⊥侧面PAD
∵CD?面PDC，∴面PDC⊥侧面PAD
正三角形PAD中，E为PD的中点，所以AE⊥PD，
∵面PDC∩面PAD=PD，∴AE⊥平面PCD．    …（9分）
（3）解：在PC上取点M使得PM=

1

4

PC．
由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以PD=AD=AB=DC
所以在等腰直角三角形DPC中，EM⊥PC，
连接AM，因为AE⊥平面PCD，所以AM⊥PC．
所以∠AME为二面角A-PC-D的平面角．…（12分）
在Rt△AEM中，tan∠AME=

AE

ME

=

3 2

1 2 × 2 2

=

6

．
即二面角A-PC-D的正切值为

6

…（14分）

点评：本题主要考查线面平行，线面垂直的证明方法．二面角的基本求法．考查学生的空间想象能力，识图的能力，严密的逻辑思维能力．