题目内容

精英家教网设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点P(3，
3
4
7
)，且离心率e=
7
4
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A（2，0）的动直线AB交椭圆于点M、N，（其中点N位于点A、B之间），且交直线l：x=8于点B（如图）．证明：|
MA
|•|
NB
|=|
AN
|•|
MB
|．
分析：（Ⅰ）由已知，得
b2
a2
=1-e2=
9
16
，故可设所求椭圆方程为
x2
16
+
y2
9
=m，将点P(3，
3
4
7
)的坐标代入上式，得m=1．由此得到所求椭圆C的方程．
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），要证原等式成立，只要证
|
MA
|
|
MB
|
=
|
AN
|
|
NB
|
?
2-x1
8-x1
=
x2-2
8-x2
?5（x1+x2）-x1x2=16．
解答：解：（Ⅰ）　由已知，得　
b2
a2
=1-e2=
9
16
，故可设所求椭圆方程为
x2
16
+
y2
9
=m，
将点P(3，
3
4
7
)的坐标代入上式，得　m=1．
∴所求椭圆C的方程为：
x2
16
+
y2
9
=1；（5分）
（Ⅱ）　设M（x1，y1），N（x2，y2），
要证原等式成立，只要证
|
MA
|
|
MB
|
=
|
AN
|
|
NB
|
?
2-x1
8-x1
=
x2-2
8-x2
?5（x1+x2）-x1x2=16．①（8分）
以下证明①式成立．
证明：设MB：y=k（x-2），由
y=k(x-2)
x2
16
+
y2
9
=1
?（9+16k2）x2-64k2x+64k2-144=0
由韦达定理，得　x1+x2=
64k2
9+16k2
，x1x2=
64k2-144
9+16k2
，（11分）
∴5(x1+x2)-x1x2=5×
64k2
9+16k2
-
64k2-144
9+16k2
=
16(9+16k2)
9+16k2
=16
于是，①式得证．
∴|
MA
|•|
NB
|=|
AN
|•|
MB
|．（13分）
点评：本题考查椭圆方程的求法和证明|
MA
|•|
NB
|=|
AN
|•|
MB
|．解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用和分析法证明的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦点为F，它与直线l：y=k（x+1）相交于P、Q两点，l与x轴的交点M到椭圆左准线的距离为d，若椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项．
（1）求椭圆离心率e；
（2）设N与M关于原点O对称，若以N为圆心，b为半径的圆与l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求椭圆C的方程．
精英家教网设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x-
3
y-3=0相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
为定值；②在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
（2012•盐城一模）设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒过定点A（1，2），则椭圆的中心到准线的距离的最小值
5
+2
5
+2
．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若P 是椭圆上的一点，|
PF1
|+|
PF2
|=4，离心率e=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求点P的坐标；
（3）设过定点P（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e=
2
2
，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与直线x-
3
y-3=0相切．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线y=x交椭圆C于A、B两点，D为椭圆上异于A、B的点，求△ABD面积的最大值．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网