Question

8．已知在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且cosB=$\frac{1}{2}$．
（1）若a=2，b=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面积；
（2）求sinAsinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosB的值代入求出c的值，再由cosB的值求出sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积；
（2）由B的度数求出A+C的度数，表示出C，代入原式利用积化和差公式变形，利用余弦函数的值域求出范围即可．

解答 解：（1）∵△ABC中，cosB=$\frac{1}{2}$，a=2，b=2$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2acccosB，即12=4+c²-2c，
解得：c=4或c=-2（舍去），
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=2$\sqrt{3}$；
（2）∵cosB=$\frac{1}{2}$，B为三角形内角，
∴B=60°，A+C=120°，即C=120°-A，
∴sinAsinC=sinAsin（120°-A）=-$\frac{1}{2}$[cos（A+120°-A）-cos（A-120°+A）]=-$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$-cos2A）=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$cos2A，
∵0＜A＜120°，即0＜2A＜240°，
∴-1≤cos2A＜1，即-$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$cos2A＜$\frac{3}{4}$，
则sinAsinC的范围为[-$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$）．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，余弦函数的定义域与值域，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．