Question

已知：α，β为锐角，cosα=

1

7

，sin(α+β)=

5 3

14

，求β．

Answer 1

分析：先判断0＜α+β＜π，求得 sinα=

4 3

7

，cos（α+β）=±

11

14

．当cos（α+β）=

11

14

时，求得sinβ=sin[（α+β）-α]＜0，矛盾，可得cos（α+β）=-

11

14

．
再由cosβ=cos[（α+β）-α]=

1

2

，结合0＜β＜

π

2

，求得β 的值．

解答：解：∵α，β为锐角，∴0＜α+β＜π． …（1分）
∵cosα=

1

7

，sin（α+β）=

5 3

14

，
∴sinα=

4 3

7

，cos（α+β）=±

11

14

． …（4分）
当cos（α+β）=

11

14

时，sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=

5 3

14

•

1

7

-

11

14

•

4 3

7

＜0，矛盾，
∴cos（α+β）=-

11

14

．…（6分）
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα …（8分）
=-

11

14

•

1

7

+

5 3

14

•

4 3

7

=

1

2

，…（10分）
又0＜β＜

π

2

，∴β=

π

3

．…（12分）

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦、余弦公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．