题目内容

已知二次函数f（x）图象过点（0，3），它的图象的对称轴为x=2，且f（x）的两个零点的平方和为10，求f（x）的解析式．
分析：由已知中函数f（x）为二次函数，我们可以采用待定系数法求函数的解析式，根据函数f（x）图象过点（0，3），图象的对称轴为x=2，两个零点的平方和为10，结合韦达定理（一元二次方程根与系数的关系），我们可以构造一个关于系数a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值后，即可得到f（x）的解析式．
解答：解：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）
因为f（x）图象过点（0，3），所以c=3
又f（x）对称轴为x=2，
∴-
b
2a
=2即b=-4a
所以f（x）=ax2-4ax+3（a≠0）
设方程ax2-4ax+3=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，
则x1+x2=4，x1x2=
3
a
，x12+x22=10
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16-
6
a
，
所以16-
6
a
=10
得a=1，b=-4
所以f（x）=x2-4x+3
点评：本题考查的知识点是待定系数法，待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，当函数f（x）类型确定时，可用待定系数法．其解题步骤一般为：①根据函数类型设出函数的解析式（其中系数待定）②根据题意构造关于系数的方程（组）③解方程（组）确定各系数的值④将求出的系数值代入求出函数的解析式
练习册系列答案
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．
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