Question

13．在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}$，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=4\sqrt{2}$．设P为曲线C₁上的动点，则点P到C₂上点的距离的最小值为3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 曲线C₁的普通方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，C₂的普通方程为x+y=8，利用点到直线的距离公式，将椭圆的参数方程代入直线x+y=8中有求解d，转化为三角函数即可．

解答 解：∵曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}$，（α为参数），曲线C₂的极坐标方程为$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=4\sqrt{2}$．
∴曲线C₁的普通方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，C₂的普通方程为x+y=8，
利用点到直线的距离公式，将椭圆的参数方程代入直线x+y=8中有$d=\frac{{|\sqrt{3}cosα+sinα-8|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|2sin（α+\frac{π}{3}）-8|}}{{\sqrt{2}}}∈[3\sqrt{2}，5\sqrt{2}]$，
所以当$sin（α+\frac{π}{3}）=1$时，d的最小值为$3\sqrt{2}$，此时点P的坐标为$（\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$．
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆锥曲线与直线，三角函数性质的求解，属于综合和问题，属于中档题．