Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=

x2+2，x∈[0，1) 2-x2，x∈[-1，0)

且f（x+2）=f（x），g（x）=

2x+5

x+2

，则方程f（x）=g（x）在区间[-8，3]上的所有实根之和为

-12

．

Answer 1

分析：利用函数的周期性和对称性，结合图象可得方程的根．

解答：解：由f（x+2）=f（x），知f（x）是周期为2的周期函数．
分别作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象，如图所示．
这两个函数的图象关于点P（2，-2）中心对称，故它们的交点也关于点P（2，-2）中心对称，
从而方程f（x）=g（x）在区间[-8，3]上的所有6个实根也是两两成对地关于点P（2，-2）中心对称，
则方程f（x）=g（x）在区间[-8，3]上的所有实根之和为3×（-4）=-12．
故答案为：-12．

点评：本题主要考查根的存在性及根的个数判断，函数的周期性以及对称性的综合应用，综合性比较强．