Question

已知函数f(x)=2+.数列{a_n}中，a₁=a,a_n+1=f(a_n)(n∈N^*).当a取不同的值时，得到不同的数列{a_n}，如当a=1时，得到无穷数列1,3,,,…;当a=-时，得到有穷数列-,

(Ⅰ)求a的值，使得a₃=0;

(Ⅱ)设数列{b_n}满足b₁=-,b_n=f(b_n+1)(n∈N^*),求证：不论a取{b_n}中的任何数，都可以得到一个有穷数列{a_n}.

Answer 1

解：（Ⅰ）a₁=a,a₂=f(a)=2+=,a₃=f(2)=2+=2+=0,

    解得：a=-.

（Ⅱ）分析：要证明：不论a取{b_n}中的任何数，都可以得到一个有穷数列{a_n},只需证明当a取{b_n}中的任意数bk时，由公式a_n+1=f(a_n)可得到值为0的项.

证明：设a_n=b_k,k∈N^*，则a₂=f(a₁)=f(b_k)=b_k-1,

    同理a₃=b_k-2,a₄=b_k-3.

…a_k=b₁=-,∴a_k+1=0.

    数列{a_n}只有k+1项，故为有穷数列.命题得证.