Question

（2004•朝阳区一模）已知动双曲线的右顶点在抛物线y²=x-1上，实轴长为定值4，右准线恰为y轴．
（Ⅰ）求动双曲线中心的轨迹方程；
（Ⅱ）求虚半轴长的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设设双曲线的中心为M（x，y），由于右准线为y轴，故x＜0．再根据实轴长为4，得双曲线的右顶点为（x+2，y）．由题意知点（x+2，y）在抛物线y²=x-1上，由此能求出动双曲线中心的轨迹方程．
（Ⅱ）先设双曲线方程为

(x-x0)2

a2

-

(y-y0)2

b2

=1(a＞0，b＞0)．可得右准线为x=x0+

a2

c

．而右准线方程为x=0，从而有x0=-

a2

c

=-

4

4+b2

．由（Ⅰ）知

y

2 0

=x0+1，故

y

2 0

=-

4

4+b2

+1≥0．由此建立关于b的不等关系即可求出虚半轴长的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）：设双曲线的中心为（x，y），由于右准线为y轴，故x＜0．
∵实轴长为4，故a=2．
∴双曲线的右顶点为（x+2，y）．
由题意知点（x+2，y）在抛物线y²=x-1上，
∴y²=（x+2）-1=x+1．
∴双曲线中心的轨迹方程为y²=x+1（-1≤x＜0）．…（6分）
（Ⅱ）：设双曲线方程为

(x-x0)2

a2

-

(y-y0)2

b2

=1(a＞0，b＞0)．
∵a=2，故c=

a2+b2

．
由x-x0=

a2

c

，得右准线为x=x0+

a2

c

．
而右准线方程为x=0，
∴x0+

a2

c

=0．
∴x0=-

a2

c

=-

4

4+b2

．
由（Ⅰ）知

y

2 0

=x0+1，
故

y

2 0

=-

4

4+b2

+1≥0．
化简得b²≥12，故b≥2

3

．
∴虚半轴长的取值范围是[2

3

，+∞)．…（14分）

点评：本题主要考查抛物线标准方程，双曲线的简单几何性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力，考查化归与转化思想．