题目内容
已知函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（A，ω＞0，0＜φ＜π）在x=
时取最大值2，x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x1-x2|的最小值为
．
（1）求f（x）；
（2）若f（a）=
，a∈（
，
），求sin（
-2a）的值．
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
（1）求f（x）；
（2）若f（a）=
| 2 |
| 3 |
| π |
| 12 |
| π |
| 3 |
| 7π |
| 6 |
分析：（1）利用函数的最大值求出A，|x1-x2|的最小值为
．求出函数的周期，得到ω，利用x=
时取最大值2，结合0＜φ＜π，求出φ，求出函数f（x）的表达式；
（2）通过f（a）=
，a∈（
，
），求出cos（2a+
），利用诱导公式化简sin（
-2a），得到cos（2a+
）的形式，从而求出表达式的值．
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
（2）通过f（a）=
| 2 |
| 3 |
| π |
| 12 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 7π |
| 6 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）由已知得：A=2，
=
所以T=π，2ω=2从而ω=1；
且sin（2×
x+φ）=1 结合0＜φ＜π知φ=
所以函数f（x）=2sin（2x+
）
（2）由f（a）=
，得sin（2x+
）=
因a∈（
，
），所以
＜2a+
＜π
所以cos（2a+
）=-
于是sin（
-2a）=sin[
-(2a+
)]
=-cos（2a+
）=
| T |
| 2 |
| π |
| 2 |
且sin（2×
| π |
| 12 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）由f（a）=
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
因a∈（
| π |
| 12 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
所以cos（2a+
| π |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
于是sin（
| 7π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 3 |
=-cos（2a+
| π |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
点评：本题是中档题，考查函数的解析式的求法，注意周期的应用，诱导公式的化简是简化（2）的关键，考查计算能力．
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