Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA₁上一点，且AC₁⊥EG．
（Ⅰ）确定点G的位置；
（Ⅱ）求直线AC₁与平面EFG所成角θ的大小．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC₁为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C₁（0，0，2），

AC1

=(0，-2，2)
设G（0，2，h），则

EG

=(-1，1，h)．∵AC₁⊥EG，∴

EG

•

AC1

=0．
∴-1×0+1×（-2）+2h=0．∴h=1，即G是AA₁的中点．
（Ⅱ）设

m

=(x，y，z)是平面EFG的法向量，则

m

⊥

FE

，

m

⊥

EG

．
所以

0×x+1×y+0×z=0 -x+y+z=0.

平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）
∵sinθ=

| m • AC1 |

| m |•| AC1 |

=

2

2 ×2 2

=

1

2

，
∴θ=

π

6

，即AC₁与平面EFG所成角θ为

π

6

解法二：（Ⅰ）取AC的中点D，连接DE、DG，则ED∥BC
∵BC⊥AC，∴ED⊥AC．
又CC₁⊥平面ABC，而ED?平面ABC，∴CC₁⊥ED．
∵CC₁∩AC=C，∴ED⊥平面A₁ACC₁．
又∵AC₁⊥EG，∴AC₁⊥DG．
连接A₁C，∵AC₁⊥A₁C，∴A₁C∥DG．
∵D是AC的中点，∴G是AA1的中点．
（Ⅱ）取CC₁的中点M，连接GM、FM，则EF∥GM，
∴E、F、M、G共面．作C₁H⊥FM，交FM的延长线于H，∵AC⊥平面BB₁C₁C，
C₁H?平面BB₁C₁C，∴AC⊥G₁H，又AC∥GM，∴GM⊥C₁H．∵GM∩FM=M，
∴C₁H⊥平面EFG，设AC₁与MG相交于N点，所以∠C₁NH为直线AC₁与平面EFG所成角θ．
因为C1H=

2

2

，C1N=

2

，∴sinθ=

2

2 2

=

1

2

，∴θ=

π

6

．