Question

已知实数x，y满足x≥1，y≥1，（log_ax）²+（log_ay）²=log_a（ax²）+log_a（ay²），当a＞1时，求log_a（xy）的取值范围．

Answer 1

解：∵x≥1，y≥1，a＞1，
∴（log_ax）²+（log_ay）²=log_a（ax²）+log_a（ay²）可变形为
（log_ax）²+（log_ay）²=log_aa+2log_ax+log_aa+2log_ay，
即（log_ax）²+（log_ay）²-2log_ax-2log_ay-2=0，
即（log_ax+log_ay）²-2log_ax•log_ay-2（log_ax+log_ay）-2=0
设log_ax=m，log_ay=n，则m≥0，n≥0，且（m+n）²-2mn-2（m+n）-2=0
∵mn≤（）²=
∴（m+n）²-2mn-2（m+n）-2=0≥（m+n）²-2×-2（m+n）-2
即（m+n）²-4（m+n）-4≤0
∴2-2≤m+n≤2+2
即2-2≤log_ax+log_ay≤2+2
即2-2≤log_a（xy）≤2+2
又x≥1，y≥1，a＞1，可得0≤log_a（xy）
所以0≤log_a（xy）≤2+2
分析：先利用对数运算性质将已知对数等式变形为关于log_ax，log_ay的等式，再利用换元法及均值定理将等式转化为不等式，解不等式即可得所求范围
点评：本题考查了对数运算性质，利用均值定理化等式为不等式求变量范围的解题技巧，转化化归的思想方法