Question

已知函数f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)，现有四个命题：（1）函数f（x）的最小正周期为2π；（2）函数f（x）在区间[0，

π

2

]上是增函数；（3）函数f（x）的图象关于直线x=0对称；（4）函数f（x）是奇函数．其中真命题的个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：借助正弦函数y=sinx的周期性，单调性，对称性，奇偶性分别求函数f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)的周期，单调增区间，对称轴，奇偶性，再与4个命题逐一对比，即可得到真命题个数．

解答：解：函数f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)，的最小正周期T=

2π

1

=2π，∴（1）正确．
当-

π

2

+2kπ＜x-

π

2

＜

π

2

+2kπ，k∈π时，即2kπ＜x＜π+2kπ，k∈z，函数为增函数，
∴函数f（x）在区间[0，

π

2

]上是增函数，（2）正确．
当x-

π

2

=

π

2

+kπ，k∈z，即x=π+kπ为函数的对称轴，∴函数f（x）的图象关于直线x=0对称．（3）正确．
∵函数f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)图象相当于函数y=sinx的图象向右平移

π

2

个单位，∴图象关于y轴对称，为偶函数．∴（4）错误．
∴真命题的个数是3个．
故选C

点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+∅）的周期性，单调性，对称性，奇偶性的判断，属于三角函数的常规题．