Question

已知f（x）=e^x，g(x)=

x2+4 -x

2

．
（Ⅰ）若关于x的方程[f（x）]²+m•f（x）+4=0有两个不相等的正根，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）直线y=t（t＞1）与y=f（x），x=0，y=g（x）的图象分别交于M，S，N三点．求证：不存在两个不同的t使得

|SM|

|SN|

的值相等．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于（e^x）²+m•e^x+4=0有两个不相等的正根，若令t=e^x，则关于t的方程t²+m•t+4=0有两个大于1且不相等的根，可得

1+m+4＞0 △=m2-16＞0 - m 2 ＞1

，解得即可．
（II）联立

y=t y=ex

，解得x=lnt，可得|SM|=lnt．联立

y=t y= x2+4 -x 2

，解得x=

1-t2

t

，可得|SN|=

t2-1

t

．于是

|SM|

|SN|

=

tlnt

t2-1

，令h(t)=

tlnt

t2-1

．不存在两个不同的t（t＞1）使得

|SM|

|SN|

的值相等?不存在两个不同的t（t＞1）使h（t）的值相等．利用导数研究函数h（t）在区间（1，+∞）上具有单调性即可．

解答：解：（Ⅰ）∵（e^x）²+m•e^x+4=0有两个不相等的正根，令t=e^x
∴关于t的方程t²+m•t+4=0有两个大于1且不相等的根，
∴

1+m+4＞0 △=m2-16＞0 - m 2 ＞1

，解得m∈（-5，-4）．
（Ⅱ）联立

y=t y=ex

，解得x=lnt，∴|SM|=lnt．
联立

y=t y= x2+4 -x 2

，解得x=

1-t2

t

，∴|SN|=

t2-1

t

．
∴

|SM|

|SN|

=

tlnt

t2-1

，令h(t)=

tlnt

t2-1

．
不存在两个不同的t（t＞1）使得|SM|=|SN|的值相等?不存在两个不同的t（t＞1）使h（t）的值相等．
又h′(t)=

t2-t2lnt-lnt-1

(t2-1)2

．
令u（t）=t²-t²lnt-lnt-1，∴u′(t)=t-2tlnt-

1

t

，u″(t)=

1

t2

-1-2lnt．
∵当t＞1时，u″(t)=

1

t2

-1-2lnt＜0，∴u'（t）在（1，+∞）上单调递减．
∴当t＞1时，u'（t）＜u'（1）=0，
∴u（t）在（1，+∞）上单调递减，∴当t＞1时，u（t）＜u（1）=0．
∴当t＞1时，h′(t)=

u(t)

(t2-1)2

＜0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递减．
∴不存在两个不同的t（t＞1）使h（t）的函数值相等，结论得证．

点评：本题考查了通过换元法把含有两个不相等的正根的一元二次方程掌握含有两个大于1且不相等的根的一元二次方程的解的情况、使得|SM|=|SN|的值相等?不存在两个不同的t（t＞1）使h（t）的值相等的问题转化为研究函数的单调性的转化思想方法，属于难题．