Question

【题目】已知过抛物线焦点且倾斜角的直线与抛物线交于点 的面积为．

（I）求抛物线的方程；

（II）设是直线上的一个动点，过作抛物线的切线，切点分别为直线与直线轴的交点分别为点是以为圆心为半径的圆上任意两点，求最大时点的坐标．

Answer 1

【答案】（I）；（II）．

【解析】试题分析：

（I）抛物线焦点为，写出直线方程，与抛物线方程联立，消元后可得，其中，可再求出原点到直线的距离，由求得，也可由求得；

（II）首先设出点坐标，设，利用导数的几何意义得出两切线方程，代入点坐标，从而得直线方程为，从而可得坐标，得的长，而要使最大，则与圆相切，这样可求得，最后由基本不等式可得最大值．也可用正切函数求最大值．

试题解析：

（I）依题意， ，所以直线的方程为；

由得，

所以，

到的距离，

，抛物线方程为

（II）设，由得，

则切线方程为即，

同理，切线方程为，

把代入可得故直线的方程为即

由得，

，

当与圆相切时角最大，

此时，等号当时成立

当时，所求的角最大．

综上，当最大时点的坐标为