Question

已知f(x)=x²+ax+b(a,b∈R)的定义域为［-1，1］，记|f(x)|的最大值为M.

(1)不等式M≥能成立吗？试说明理由；

(2)当M=时，求f(x)的解析式.

Answer 1

解析：（1）由已知得：|f(0)|≤M,|f(1)|≤M,|f(-1)|≤M,

因|2f(0)-f(1)-f(-1)|=2,|2f(0)-f(1)-f(-1)|≤2|f(0)|+|f(1)|+|f(-1)|.

故2≤2M+M+M,即M≥.

(2)当M=时，|f(0)|≤,即-≤b≤                                       ①

|f(1)|≤,即-≤1+a+b≤.                                                   ②

|f(-1)|≤,即-≤1-a+b≤.                                                   ③

②+③得，-1≤2+2b≤1,所以-≤b≤-.                                    ④

由①④得b=-,代入②得-1≤a≤0.

将b=-代入③得-1≤-a≤0,即0≤a≤1,所以a=0.所以当M=时，f(x)=x²-.