Question

3、如图4(a)所示为一种获得高能粒子的装置――环形加速器，环形区域内存在垂直纸面向外、大小可调节的均匀磁场。质量为m、电量为+q的粒子在环中做半径为R的圆周运动。A、B为两块中心开有小孔的极板，原来电势都为零，每当粒子飞经A板时，A板电势升高为+U，B板电势仍保持为零，粒子在两极板间的电场中得到加速。每当粒子离开时，A板电势又降为零，粒子在电场一次次加速下动能不断增大，而绕行半径不变。

⑴设t=0时，粒子静止在A板小孔处，在电场作用下加速，并开始绕行第一圈，求粒子绕行n圈回到A板时获得的总动能E_n。

⑵为使粒子始终保持在半径为R的圆轨道上运动，磁场必须周期性递增，求粒子绕行第n圈时的磁感应强度B_n。

⑶求粒子绕行n圈所需的总时间t_n（设极板间距远小于R）。

⑷在图4(b)中画出A板电势u与时间t的关系（从t=0起画到粒子第四次离开B板）。

⑸在粒子绕行的整个过程中A板电势是否可始终保持+U？为什么？

Answer 1

解析： ⑴因粒子每绕行一圈，其增加的能量为qU，所以，绕行第n圈时获得总动能为E_n = nqU

⑵由⑴可求得第n圈的速度，由，得

在磁场中，由牛顿定律得     即

⑶粒子始终保持做半径为R的匀速圆周运动，所以第一圈的时间t = 2πR/v,显然因粒子能量不同，其速度也不同，粒子在第一圈运动时，有   即：

同理，粒子在第二圈运动时，有       即：

第n圈的速度为 

故绕行n圈所需总时间为 

即  

⑷A极电势U随时间t变化的图象如图5所示。

⑸不可以，因为这样会使粒子在A、B两极板之间飞行时，电场力对其做正功+qU，从而使之加速，在A、B板之外（即回旋加速器内）飞行时，电场又对其做负功 qU，从而使之减速。粒子绕行一周电场对其所做总功为零，能量不会增加。