Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若，求的取值范围；

（Ⅱ）证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ………………2分

xf′（x）=xlnx+1，

题设xf′（x）≤x2+ax+1等价于lnx-x≤a，

令g（x）=lnx-x，则g’（x）=。 ………………4分

当0<x<1时，g’（x）>0；当x≥1时，g’（x）≤0，x=1是g（x）的最大值点，

g（x）≤g（1）=-1。 ………………6分

综上，a的取值范围是[-1,+∞）。 ………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1，即lnx-x+1≤0；

当0<x<1时，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；………10分

当x≥1时，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）

=lnx+x（lnx+-1）≥0

所以（x-1）f（x）≥0

【解析】

本试题主要考查了导数在研究函数中的运用，以及利用导数求解不等式，或者参数范围的运用。

解：（Ⅰ），

,

题设等价于.

令，则

当，；当时，，是的最大值点，

综上，的取值范围是.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，即.

当时，；

当时，

所以