Question

【题目】质量为的质点在有心引力作用下做半径为的圆周运动，有心引力的大小可表示为，其中为质点到固定力心的距离，为正的常数，为可正可负的常数（不一定是整数）.

（1）问：当为何值时，该圆轨道对径向小扰动是稳定的？

（2）对稳定的圆轨道，求径向小扰动情况下质点径向振动的周期，用，，，表示.

（3）问：当为何值时，稳定圆轨道的运动周期为径向小振动周期的整数倍？

Answer 1

【答案】（1）（2） （3）

【解析】

（1）依题意有，

所以，.

当粒子在径向发生微小偏移时，由角动量守恒得

.

在转动系中，.

因为，

所以，

.

显然，当，即时，满足粒子在径向做谐振的条件，此时，粒子在径向的扰动是稳定的.

（2）由（1）的解答知

.

（3）粒子做匀速圆周运动时，其周期为

.

若时，有

.

中学阶段讨论较多的有心力是万有引力与无原长的弹簧牵引下的作用力，即在中取-2或1，并作了一般性的讨论.

在有心力作用下讨论物体径向运动的试题很多，既有类似于本题的动力学分析方法，也有能量分析的方法，比如引入“有效势能”来讨论物体运动的区域.

另外，若不等于-2或1，我们则难以找到与之匹配的实际模型，所以，这类习题也只是一种纯粹的理论探讨，但这种探讨对学习物理学是有意义的.