Question

【题目】从z轴上的O点发射一束电量为、质量为m的带电粒子，它们速度的方向分布在以O点为顶点，z轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内（如图甲所示），速度的大小都等于v。试设计一种匀强磁场，能使这束带电粒子会聚于Z轴上的另一点M，M点离开O点的距离为d。要求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和最小值。不计粒子间的相互作用和重力的作用。

Answer 1

【答案】，最小值为。

【解析】

设计的磁场为沿z轴方向的匀强磁场，O点和M点都处于这个磁场中。下面我们根据题意求出这种磁场的磁感应强度的大小。粒子由O点射出就进入了磁场，可将与z轴成角的速度分解成沿磁场方向的分速度和垂直于磁场方向的分速度（如图乙所示），注意到很小，得

， ①

。 ②

粒子因具有垂直磁场方向的分速度，在洛仑兹力作用下做圆周运动，以R表示圆周的半径，有

。

圆周运动的周期为，

由此得。 ③

可见周期与速度分量无关。

粒子因具有沿磁场方向的分速度，将沿磁场方向做匀速直线运动。由于两种分速度同时存在，粒子将沿磁场方向做螺旋运动，螺旋运动的螺距为

。 ④

由于它们具有相同的v，因而也就具有相同的螺距；又由于这些粒子是从同一点射出的，所以经过整数个螺距（最小是一个螺距）又必定会聚于同一点。只要使OM等于一个螺距或一个螺距的n（整数）倍，由O点射出的粒子绕磁场方向旋转一周（或若干周后）必定会聚于M点，如图丙所示。所以

。 ⑤

由式③④⑤解得

。 ⑥

这就是所要求磁场的磁感应强度的大小，最小值应取，所以磁感应强度的最小值为

。