Question

【题目】将半径为R的球面按如图a所示方式等分成8份，取走7份，留下的1份使其均匀带电，电荷面密度为，试求球心处电场强度的大小．

Answer 1

【答案】

【解析】

解析1 如图b所示，以八分之一球面ABC部分为例，由对称性可知，所求正（图中未画出）的方向线必过的中心，且垂直所在平面．将八分之一球面ABC分解为一系列小面元，每一小面元可看作平面的一部分。设为的法线与的夹角，由场叠加原理可得

既然垂直于所在平面，故也是的法线与平面法线的夹角，也就是与ABC平面的夹角。这样，即为在ABC平面上的投影大小，便是八分之一球面ABC在ABC平面上的投影面积．注意，此投影面积并不等于的面积，但等于图b中三个扇形ABO、BCO、CAO在ABC平面上的投影之和，由于对称，这三个扇形的投影面积相同，因此有

其中为ABO平面与ABC平面之间的夹角．

设M为AB中点，有，，又因，便得

所以．

.

解析2 如图c所示，均匀带电半球面在球心O处的场强必沿x方向．在半Fx球面上取面积为的一小块面元，电量是，它在O点产生的场强记为，我们（c）总可以将半球面绕x轴旋转，使得在图c的纸平面上，则

图d的一个球面在O点的场强为，则的x轴分量与的关系是．由于对称性，与x、y、之轴的夹角都相同，的三个分量、、大小（d）都相同．可以设想一个以、、为三条棱的立方体，那么即为立方体的对角线，因此