Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数）,以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；

（2）将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的,再将所得到曲线向左平移个单位，得到曲线,求曲线上的点到直线的距离的最小值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

试题（1）直线的参数方程两式相减消参得到普通方程；曲线C的极坐标方程两边同时乘以，得到，根据极坐标与直角坐标的转化，，，（2）根据点的伸缩变换公式和平移公式代入公式得到曲线，，设曲线的参数方程，代入点到直线的距离公式，利用三角函数的最值求距离的最小值．

试题解析：解：（1）曲线C的直角坐标方程为：

即：

直线的普通方程为5分

（2）将曲线C上的所有点的横坐标缩为原来的，得，即

再将所得曲线向左平移1个单位，得：

又曲线的参数方程为（为参数），设曲线上任一点

则（其中）

点到直线的距离的最小值为。 12分