Question

【题目】质量为的一系列小物块用劲度系数为的小弹簧等间隔（间隔为）地连接成一排（如图所示），当左端物块做角频率为的左右简谐运动时，此振动将自左至右逐渐传播，使各物块相继做同频率、同幅度的振动，求传播速度.设.

Answer 1

【答案】

【解析】

研究第个物块，设第个、第个、第个物块的位移分别为、和，那么第个物块的运动方程为

，

得. ①

设每个物块都做振幅为、角频率为的简谐运动，但初相位各不相同，相邻物块的位相差为，越大落后越多，即

.

根据振动方程，第个物块的加速度为

.

代入①式得

.

利用三角公式将上式变为

. ③

要上式在任意时刻都成立，必须有

. ④

因题设，

所以，，即，

所以是一个很小的角，

由三角公式，

因为很小，所以，上式可变成

.

代入④式，得

，即.

相位上的落后等效于时间上的落后，则

.

于是，振动的速度为

.

本题是对纵波传播的一个模拟研究.

本题不仅综合程度高，而且思维难度也很大，在解答过程中，模型的构建、条件的应用、过程的推导都是有相当大的难度的，若没有对波的传播模型有深刻的认知及扎实的数学功底，要完成本题的解答将是极为困难的.

在交流电路中也有一道与本题类似的竞赛题，是计算“电流波”的传播速度的问题，其解答思路和数学处理方法均与本题类似，但有本题为基础，“电流波”的计算便不再有太大的障碍，这体现了解题经验的作用.