Question

【题目】长L的均匀弹性绳AB自由伸直地放在光滑水平桌面上，绳的A端固定。时，一小虫开始从A端出发以相对其足下绳段的匀速度u在绳上朝B端爬去，同时绳的B端以相对桌面的匀速度v沿绳长方向运动，试求小虫爬到B端的时刻。

附注：B端运动使绳各部分之间有相对运动，绳的整体不可作为小虫运动的参考物，严格而言，不宜说“小虫开始从A端出发以相对绳的匀速度u在绳上朝B端爬去”。但是可以说“……以相对其足下绳段的匀速度u在绳上朝B端爬去”，因为小虫已按习惯模型化为质点，“其足下的绳段”当为无穷短绳段，无穷短时间内此绳段各部分间相对运动可略，故可取为该时刻附近小虫爬行运动的“瞬时”参考系。

Answer 1

【答案】

【解析】

如图所示,在原长的绳上建立从A到B的x坐标,A端,B端.设t时刻小虫P处于x坐标上的x位置,此时绳的真实长度已成为，即已对应真实长度坐标的,绳中x坐标对应真实长度为 。

小虫P相对其足下绳段不动,绳端B的运动会使有增量

。

因x不会变化,故对小虫P爬绳无贡献.再令绳端B不动,小虫P相对其足下绳段运动,使的增量对应有的增量,其间关系为。

由此可得

即.。

方法2：法1中小虫P随绳端B相对桌面的真实运动量,与小虫P爬绳相对桌面的真实运动量在同一方向,故不易区分。

本解法提供一种等效处理方法,将直长为L的绳弯曲成半径为的相接圆环绳,如图（a）所示,t时刻因绳端B运动,绳长增为,对应图(b)中圆半径增为.此过程中,原来小虫P随绳端B沿绳长方向的运动转化为小虫P的径向朝外运动,而小虫P的爬绳运动转化为小虫P的切向运动,两个正交方向的运动截然分离.小虫P从爬到,即到达绳端B.

参考图中参量，有

，

，

即得。

如没有题后的“附注”,那么,初次接触此题的同学,恐怕很难理解小虫在爬行过程中,相对于同时在伸长的绳上的运动情况.“解析1”是将绳的伸长与小虫的运动分开描述、进行对比,详尽地论述了这种相对运动;而“解析2”用等效的方式来处理这种运动,很容易让人理解小虫的爬行与绳子的伸长之间的关系,其独到的解法,让人领会到等效法的奇妙。