Question

【题目】已知动点， 都在曲线 (为参数)上，对应参数分别为与， 为的中点.

(1)求曲线的普通方程；

(2)将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点.

Answer 1

【答案】(1) (2) ，当时， ， 的轨迹过坐标原点

【解析】试题分析：（1）消去参数，从而得曲线的普通方程；
（2）根据题意写出P，Q两点的坐标：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），再利用中点坐标公式得PQ的中点M的坐标，从而得出M的轨迹的参数方程；利用两点间的距离公式得到M到坐标原点的距离，再验证当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．

试题解析：

(1)曲线的直角坐标方程： .

(2)依题意有， ，因此， 的轨迹的参数方程为 (为参数， )，

点到坐标原点的距离，当时， ，

故的轨迹过坐标原点.